ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式

{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right) \textstyle \sum \limits _{1\leq i

(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in \mathbb {K} \ (i=1,\cdots ,n))

のことである。ここで、 $\mathbb {K}$ は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。

c_i = a_i かつ d_i = b_i とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式が得られる。これはユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。

証明

右辺第2項を展開すると

{\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{1\leq i

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積

n = 3, $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ のとき

{\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\& (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\& (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\& ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\& ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

{\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、c = a, d = b とおくと、

\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：

n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、A_S を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、B^S を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。
m × m行列である積 AB の行列式は

$\det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})$

となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。